Рациональные и натуральные числа

Числа. Рациональные числа

Рациональные и натуральные числа

Какие числа рациональные? Рациональные числа (в отличии от иррациональных)– это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n, где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3.

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

Поэтому число «Пи» (π = 3,14…), основание натурального логарифма, e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.

Рациональные числа, примеры:

3/4; 9/12; 1/2;

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначают и его можно записать вот так:

Кроме того, одну дробь можно записать разными способами и видами, но значение ее не потеряется.

Например, 3/4 и 9/12, (любая дробь, которую можно получить из другой дроби (и наоборот) умножая их либо деля числитель и знаменатель на одинаковое натуральное число, являются одним и тем же рациональным числом).

Так как делением числителя и знаменателя дроби на НОД, можем получить единственное представление рационального числа, которое нельзя сократить, то можем говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

где gcd(m,n) — НОД чисел m и n.

Множество рациональных чисел – это естественное обобщение множества целых чисел. Если у рационального числа a=m/n знаменатель n=1, то a=m будет целым числом.

Всякое рациональное число легко выразить как дробь, у которой числитель является целым числом, а знаменатель – натуральным числом.

a/b, где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b∈N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например, тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел

Основные свойства рациональных чисел.

     1. Упорядоченность. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «» либо «=». Это правило –  правило упорядочения и формулируют его вот так:

  • 2 положительных числа a=ma/na и b=mb/nb связаны тем же отношением, что и 2 целых числа ma⋅nb и mb⋅na;
  • 2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a|;
  • когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b.

∀a,b∈Q (a∨a>b∨a=b)

     2. Операция сложения. Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования, которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c. При этом само число c – это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b), а процесс нахождения этого числа называют суммирование.

Правило суммирования выглядит так:

ma/na+mb/nb=(ma⋅nb+mb⋅na)/(na⋅nb).

∀a,b∈Q ∃!(a+b)∈Q

     3. Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс нахождения этого числа называют умножение.

Правило умножения выглядит так: mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

     4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

∀a,b,c∈Q (a∧b⇒a∧(a = b∧b = c ⇒ a = c)

     5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

∀a,b∈Q  a+b=b+a

     6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

∀a,b,c∈Q  (a+b)+c=a+(b+c)

     7. Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

∃0∈Q ∀a∈Q  a+0=a

     8. Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

∀a∈Q ∃(−a)∈Q  a+(−a)=0

     9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

∀a,b∈Q  a⋅b=b⋅a

     10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

∀a,b,c∈Q  (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

     11. Наличие единицы. Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

∃1∈Q ∀a∈Q  a⋅1=a

     12. Наличие обратных чисел. Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

∀a∈Q ∃a−1∈Q  a⋅a−1=1

     13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

∀a,b,c∈Q  (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c

     14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

∀a,b,c∈Q  a⇒a+c

     15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

∀a,b,c∈Q  c>0∧a⇒a⋅c⋅c

     16. Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a.

Операции с рациональными числами

Источник: https://www.calc.ru/Chisla-Ratsionalnyye-Chisla.html

Рациональные числа: что это такое, свойства и примеры

Рациональные и натуральные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.

Это число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.

Например:

  • 1,15 — рациональное число т. к. его можно представить как 115/100;
  • 0,5 — рациональное число т. к. это 1/2;
  • 0 — рациональное число т. к. это 0/1;
  • 3 — рациональное число т. к. это 3/1;
  • 1 — рациональное число т. к. это 1/1;
  • 0,33333… — рациональное число т. к. это 1/3;
  • –5,4 — рациональное число т. к. это –54/10 = –27/5.

Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.

Слово “рациональный” произошло от латыни “ratio”, которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.

Переместительные и сочетательные законы

а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;

а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;

а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0

Переместительные и сочетательные законы при умножении

a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2

a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2

а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1

а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0

а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю

Распределительный закон умножения

Для сложения:

+ b) × с = ас+ bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4

Для вычитания:

b) × с = ас bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4

Иррациональные числа

Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.

Например:

  • число Пи = 3,14159…, его можно записать как 22/7, но это будет лишь приблизительно и далеко не точно ( 22/7 = 3,142857..);
  • √2 и √99 — иррациональные, т. к. их невозможно записать дробью (корни часто иррациональные, но не всегда);
  • e (число) = 2,72 — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью;
  • золотое сечение φ=1,618… — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью.

Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.

Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.

Например:

Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.

Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.

Натуральные числа

Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.

Например:

Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр (“у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках”), поэтому нуль не входит в натуральные числа.

Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.

Все десятичные дроби рациональные числа?

Десятичные дроби выглядят таким образом:

Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:

0,561 =

Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:

(3 повторяется)

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.

Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.

Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159…) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

Корни — рациональные числа или иррациональные?

Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:

  • √2 = 1,414214… — иррациональное;
  • √3 = 1,732050… — иррациональное;
  • ∛7 = 1,912931… — иррациональное;
  • √4 = 2 — рациональное (2 = 2/1);
  • √9 = 3 — рациональное (3 = 3/1).

История рациональных чисел и дробей

Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.

Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.

Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.

Считается, что из-за этого между ними получился конфликт, который породил множество легенд. Многие говорят о том, что как раз это открытие убило Гиппаса.

В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.

У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.

Узнайте больше про Число Пи, Числа Фибоначчи и Экспоненту.

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/racionalnye-chisla/

Рациональные числа

Рациональные и натуральные числа

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби  , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

  • целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)
  • обыкновенные дроби (например ,  ,    и т.п.)
  • смешанные числа (например ,  ,    и т.п.)
  • десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
  • бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .

Примеры:

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

Значит смешанное число относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби  , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

Попробуем понять, почему дробь  вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.

Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и  равна 0,5

А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

Значение дроби равно 1,5

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

Значение дроби равно 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь

Значение дроби равно 2,5

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Видно, что наше рациональное число  расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

(−6) : 2 = −3

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

6 : (−2) = −3

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

Поэтому между выражениями      и    и    можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению   относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число   в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

(2 × 2) + 1

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим

Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число   в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

Мы получили дробь , а должны были получить дробь .

Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так

то отрицательное смешанное число будет располагаться в левой части симметрично относительное начала координат

И если читается как «две целых и одна вторая», то читается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и располагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число в развёрнутом виде записывается как .

А отрицательное смешанное число записывается как

Теперь мы можем понять, почему смешанное число расположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на шага. А поскольку значение равно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2

Пример 2. Выделить в неправильной дроби целую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь

Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби целую часть

Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно  смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник: http://spacemath.xyz/ratsionalnye-chisla/

Числа

Рациональные и натуральные числа
1. $a < b$ or $a=b$ or $a > b$ трихотомия2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$

5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения$a+x=b$, где $a$ и $b$ – известные натуральные числа, а $x$ – неизвестное натуральное число, требует введения новой операции – вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$.

Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения.

Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида$a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ – известные целые числа, а $x$ – неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$.

Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$.

Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$

$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $aeq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент$\frac{1}{a}$ or $a{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1} < \frac{p_2}{q_2}\Leftrightarrow p_1\cdot q_2 < p_2\cdot q_1$

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$

$\pi \approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении.

Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения$x\cdot x=2$ ($x2=2$) на множестве рациональных чисел.

Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$.

Уравнение типа $x2=a$, где $a$ – известное рациональное число, а $x$ – неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел.Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве.

Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы.

В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ – непустое подмножество множества действительных чисел.

Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$.

Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),…$

$1 + 5i, 2 – 4i, -7 + 6i…$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом: $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид$z=a+ib$, где $(a,b)$ – пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.

Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:1. коммутативность сложения и умножения2. ассоциативность сложения и умножения3.

$0+i0$ – нейтральный элемент для сложения4. $1+i0$ – нейтральный элемент для умножения5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению

6.

существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/chisla.html

Приемное Отделение
Добавить комментарий